Permutasi

Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang diambil sebagian atau seluruhnya. Perbedaan antara permutasi dan kombinasi adalah perhatian pada pengurutannya, dimana pada permutasi memperhatikan urutan, sedangkan pada kombinasi tidak memperhatikan urutan. XY dan YX pada permutasi di hitung 2, sedangkan pada kombinasi hanya dihitung 1.

Notasi dari permutasi adalah P. Bila n permutasi k, notasinya adalah nPk. Dimana

nPk=n!(n−k)!

Notasi ! adalah faktorial.

Contoh Soal No. 1

Lima orang pemain catur akan memperebutkan juara satu, dua dan tiga pada sebuah turnamen catur. Berapakah banyaknya susunan juara satu, dua dan tiga yang dapat dibentuk dari kelima pemain tersebut?

Jawab:

Dari soal di atas, kita akan membuat susunan urutan 3 juara dari 5 pemain catur, sehingga k=3 dan n=5. Dengan menggunakan rumus permutasi, banyaknya susunan juara yang dapat dibentuk adalah

nPk=5P3=5!(5−3)!=5!2!=60

Contoh Soal No. 2

Sebuah organisasi mahasiswa memiliki 7 orang yang kompeten untuk mengisi posisi ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Berapakah banyaknya cara untuk memilih susunan posisi tersebut?

Jawab:

Tujuh orang yang kompeten akan menenpati 4 posisi, sehingga banyaknya susunan yang akan dibentuk adalah 7 kombinasi 4, yaitu

7P4=7!(7−4)!=7!3!=35

Permutasi Siklis

Peluang: Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi yang disusun melingkar. Misalnya A, B, dan C disusun melingkar.

Jika kita pandang urutan itu searah jarum jam maka susunan ABC, CAB, dan BCA adalah sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 3 objek adalah 3!/3 = (3 × 2!)/3 = 2! = 2. Jadi, akan dihasilkan 2 susunan yang berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, dan C, yaitu ABC dan ACB.
Andaikan sekarang kita mempunyai 4 objek yang akan disusun secara siklis.

Keempat gambar di atas menunjukkan permutasi yang sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 4 objek adalah 4!/4 = (4 × 3!)/4 = 3! = 6. Jadi, akan dihasilkan 6 susunan yang berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, C, dan D. Apa yang dapat disimpulkan dari kedua contoh di atas?

Banyaknya permutasi siklis dari n objek dapat dinyatakan dengan (n – 1)!

Untuk lebih memahami mengenai permutasi siklis, khususnya dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal
Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anaknya makan bersama dan mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya cara yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika:

1. mereka berpindah-pindah tempat;
2. ayah dan ibu selalu berdekatan?

Pembahasan Contoh Soal

1. Banyaknya anggota keluarga adalah 5 orang (seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anak). Sehingga, banyaknya cara yang berlainan saat mereka duduk berpindah-pindah tempat adalah (5 – 1)! = 4! = 24 cara.
2. Perhatikan gambar berikut.
   
   Ayah dan ibu selalu berdampingan, sehingga pasangan ini dapat kita anggap satu. Sehingga terdapat 4 objek yang akan disusun secara siklis. Akan tetapi pasangan ayah dan ibu dapat disusun kembali menjadi 2P2 cara. Sehingga banyaknya susunan agar ayah dan ibu selalu berdekatan adalah (4 – 1)! × 2P2 = 3! × 2! = 12 cara.

semoga bermanfaat !!!

PERSAMAAN NILAI MUTLAK

Persamaan Nilai Mutlak - Nilai mutlak dari sebuah bilangan dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya. Dari pengertian tersebut dapat kita ambil contoh |x| = 4 memiliki dua buah penyelesaian dikarenakan ada dua buah bilangan yang jaraknya 4 titik dari 0 yaitu x = 4 dan x = -4seperti bisa kalian lihat pada gambar di bawah ini:

Konsep tersebut dapat kita perluas penggunaannya untuk menyelesaikan persoalan-persoalan yang berkaitan dengan bentuk aljabar yang terletak pada simbol-simbol nilai mutlak. Hal tersebut dijelaskan oleh sifat persamaan nilai mutlak berikut ini:

“Apabila x adalah sebuah bentuk aljabar, sedangkan n merupakan bilangan real positif, maka |x| = n dapat diimplikasikan menjadi x = n atau x = -n”

Perlu diingat bahwa sifat ini hanya bisa diaplikasikan setelah kita melakukan isolasi terhadap simbol nilai mutlak yang ada pada satu ruas. Untuk lebih mudah dalam memahaminya, simak penjelasan  mengenai cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak di bawah ini:

Cara Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

Contoh Soal 1

Selesaikanlah persamaan -3|x-4|+5 = 14

Cara Menyelesaikannya:

Pertama-tama kita harus mengisolasi nilai mutlak caranya adalah dengan memisahkan nilai mutlak agar berada pada satu ruas, sementara suku yang lain kita pindahkan menuju ruas yang lain.

-3|x-4|+5 = 14

-3|x-4|= 14 - 5

-3|x-4|= 9

  |x-4|= -3

Pada persamaan nilai mutlak x-4 adalah "X" sehingga kita bisa menyimpulkan bahwa:

x-4 = 3 atau x-4 = -3

sehingga

x = 7 atau x = 1

maka himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah {7,1}

Contoh Soal 2

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan |4 - 2/5 x|-7 = 13

Cara Menyelesaikannya:

|4 - 2/5 x|-7 = 13

|4 - 2/5 x|= 13 + 7

|4 - 2/5 x|= 20

maka

|4 - 2/5 x|= 20 atau |4 - 2/5 x|= -20

sehingga

- 2/5 x = 16 atau -2/5 x = -24

x = -40 atau x = 60

Maka himpunan penyelesaiannya adalah {-40,60}

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers - Pada artikel kali ini materi yang akan dipelajari adalah tentang fungsi komposisi dan fungsi invers. Materi ini termasuk ke dalam salah satu pokok bahasan yang ada di dalam mata pelajaran matematika di Sekolah Menengah Atas (SMA). Ada baiknya sebelum mempelajari materi ini kalian terlebih dahulu memahami Teori, Konsep dan Jenis Himpunan Matematika. Fungsi atau pemetaan termasuk ke dalam relasi karena di dalam sebah fungsi dari himpunan A ke himpunan B terdapat relasi khusus yang memasangkan tiaptiap anggota yang ada pada himpunan A dengan tiap-tiap anggota pada himpunan B. Untuk bisa menyelesaikan soal-soal mengenai fungsi komosisi dan invers tentu kita harus memahami dengan baik konsep ataupun prinsip dasar dari fungsi komposisi dan fungsi invers.

Pengertian Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi 

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Contoh Soal 1:

Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Jawab:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

Syarat Fungsi Komposisi

Contoh Soal 2

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}

g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :

a.    f o g                                     d.  (f o g) (2)

b.    g o f                                     e.  (g o f) (1)

c.    (f o g) (4)                             f.  (g o f) (4)

Jawab :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini

a.    (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}

b.    (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}

c.    (f o g) (4) = 5

d.    (f o g) (2) tidak didefinisikan

e.    (g o f) (1) = -1

Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:

Tidak Komutatif

(g o f)(x) = (f o g)(x)

Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

Fungsi Identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Cara Menentukan fungsi bila  fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui  

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.

Tentukan fungsi g (x).

Jawab :

   (f o g) (x)          = -4x + 4

      f (g (x))           = -4x + 4

2 (g (x)) + 2         = -4x + 4

        2 g (x)           = -4x + 2

           g (x)           =  -4x + 2

                                      2

           g (x)            = -2x + 1

Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f^-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f^-1 (x)merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x)telah diketahui:

Pertama

Ubah persamaan y =  f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua

Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f^-1(y)

Ketiga

Ubah y menjadi x [f^-1(y) menjadi f^-1(x)]

Contoh Soal: