PERSAMAAN NILAI MUTLAK

Persamaan Nilai Mutlak - Nilai mutlak dari sebuah bilangan dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya. Dari pengertian tersebut dapat kita ambil contoh |x| = 4 memiliki dua buah penyelesaian dikarenakan ada dua buah bilangan yang jaraknya 4 titik dari 0 yaitu x = 4 dan x = -4seperti bisa kalian lihat pada gambar di bawah ini:

Konsep tersebut dapat kita perluas penggunaannya untuk menyelesaikan persoalan-persoalan yang berkaitan dengan bentuk aljabar yang terletak pada simbol-simbol nilai mutlak. Hal tersebut dijelaskan oleh sifat persamaan nilai mutlak berikut ini:

“Apabila x adalah sebuah bentuk aljabar, sedangkan n merupakan bilangan real positif, maka |x| = n dapat diimplikasikan menjadi x = n atau x = -n”

Perlu diingat bahwa sifat ini hanya bisa diaplikasikan setelah kita melakukan isolasi terhadap simbol nilai mutlak yang ada pada satu ruas. Untuk lebih mudah dalam memahaminya, simak penjelasan  mengenai cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak di bawah ini:

Cara Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

Contoh Soal 1

Selesaikanlah persamaan -3|x-4|+5 = 14

Cara Menyelesaikannya:

Pertama-tama kita harus mengisolasi nilai mutlak caranya adalah dengan memisahkan nilai mutlak agar berada pada satu ruas, sementara suku yang lain kita pindahkan menuju ruas yang lain.

-3|x-4|+5 = 14

-3|x-4|= 14 - 5

-3|x-4|= 9

  |x-4|= -3

Pada persamaan nilai mutlak x-4 adalah "X" sehingga kita bisa menyimpulkan bahwa:

x-4 = 3 atau x-4 = -3

sehingga

x = 7 atau x = 1

maka himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah {7,1}

Contoh Soal 2

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan |4 - 2/5 x|-7 = 13

Cara Menyelesaikannya:

|4 - 2/5 x|-7 = 13

|4 - 2/5 x|= 13 + 7

|4 - 2/5 x|= 20

maka

|4 - 2/5 x|= 20 atau |4 - 2/5 x|= -20

sehingga

- 2/5 x = 16 atau -2/5 x = -24

x = -40 atau x = 60

Maka himpunan penyelesaiannya adalah {-40,60}

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers - Pada artikel kali ini materi yang akan dipelajari adalah tentang fungsi komposisi dan fungsi invers. Materi ini termasuk ke dalam salah satu pokok bahasan yang ada di dalam mata pelajaran matematika di Sekolah Menengah Atas (SMA). Ada baiknya sebelum mempelajari materi ini kalian terlebih dahulu memahami Teori, Konsep dan Jenis Himpunan Matematika. Fungsi atau pemetaan termasuk ke dalam relasi karena di dalam sebah fungsi dari himpunan A ke himpunan B terdapat relasi khusus yang memasangkan tiaptiap anggota yang ada pada himpunan A dengan tiap-tiap anggota pada himpunan B. Untuk bisa menyelesaikan soal-soal mengenai fungsi komosisi dan invers tentu kita harus memahami dengan baik konsep ataupun prinsip dasar dari fungsi komposisi dan fungsi invers.

Pengertian Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi 

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Contoh Soal 1:

Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Jawab:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

Syarat Fungsi Komposisi

Contoh Soal 2

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}

g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :

a.    f o g                                     d.  (f o g) (2)

b.    g o f                                     e.  (g o f) (1)

c.    (f o g) (4)                             f.  (g o f) (4)

Jawab :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini

a.    (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}

b.    (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}

c.    (f o g) (4) = 5

d.    (f o g) (2) tidak didefinisikan

e.    (g o f) (1) = -1

Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:

Tidak Komutatif

(g o f)(x) = (f o g)(x)

Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

Fungsi Identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Cara Menentukan fungsi bila  fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui  

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.

Tentukan fungsi g (x).

Jawab :

   (f o g) (x)          = -4x + 4

      f (g (x))           = -4x + 4

2 (g (x)) + 2         = -4x + 4

        2 g (x)           = -4x + 2

           g (x)           =  -4x + 2

                                      2

           g (x)            = -2x + 1

Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f^-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f^-1 (x)merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x)telah diketahui:

Pertama

Ubah persamaan y =  f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua

Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f^-1(y)

Ketiga

Ubah y menjadi x [f^-1(y) menjadi f^-1(x)]

Contoh Soal:

BELAJAR LAMBANG BILANGAN ROMAWI

Di dalam pelajaran matematika SD, kalian pasti akan mempelajari mengenai cara penulisan angka dengan menggunakan lambang-lambang atau bilangan-bilangan romawi. Oleh karenanya di salam materi ini saya akan mengajak kalian untuk mengenal lambang bilangan romawi dalam matematika. Pada artikel ini akan dijelaskan secara lengkap mengenai lambang pokok bilangan romawi serta cara penulisannya. Secara umum, lambang pokok bilangan romawi terdiri dari 7 buah, yaitu:

Bilangan Romawi dan Cara Penulisannya

Ada berbagai cara yang bisa kita lakukan untuk menuliskan sebuah bilangan romawi. Cara yang pertama dikenal dengan sistem pengulangan.

Sistem Pengulangan

Di dalam sistem pengulangan kita hanya bisa mengulang lambang tidak lebih dari 3 kali. Lambang bilangan romawi yang dapat digunakan dan dituliskan dengan sistem pengulangan adalah I, X, C, dan M. Sedangkan lambang bilangan romawi yang tidak boleh ditulis dengan sistem pengulangan adalah V, L, dan D. Perhatikan contoh penulisan bilangan romawi dengan sistem pengulangan di bawah ini:

I   = 1

II  = 2

III = 3

X   = 10

XX  = 20

XXX = 30

C   = 100

CC  = 200

CCC = 300

M   = 1000

MM  = 2000

MMM = 3000

Bagaimana? Sudah paham? Kalau sudah paham mari kita lanjutkan dengan cara penulisan bilangan romawi selanjutnya.

Sistem pengurangan

Cara keduayang bisa kita lakukan untuk menuliskan sebuah bilangan romawi adalah dengan sitem pengurangan. di dalam sistem pengurangan bilangan yang ada di sebelah kanan dapat dikurangkan dengan bilangan yang ada disebelah kiri apabila bilangan yang disebelah kiri nilainya lebih kecil daripada bilangan yang ada si sebelah kanan. sistem pengurangan hanya berlaku satu kali. berikut contoh penulisan bilangan romawi dengan sistem penguranga:

IV =  5 - 1    = 4

IX = 10 - 1    = 9

XL = 50 - 10   = 40

XC = 100 - 10  = 90

CD = 500 - 100 = 400

CM = 1000 - 100= 900

Sistem penjumlahan

cara penulisan bilangan romawi selanjutnya adalah dengan sistem penjumlahan. sistem penjumlahan hanya boleh dilakukan apabila bilangan tersebut diikuti dengan bilangan yang nilainya sama atau lebih kecil. sistem penjumlahan hanya boleh dilakukan maksimal 3 kali. perhatikan contoh penulisan bilangan romawi dengan sistem penumlahan di bawah ini:

VI  = 5  + 1     = 6

VII = 5  + 1 + 1 = 7

XI  = 10 + 1     = 11

XII = 10 + 1 + 1 = 12

LX  =   50 +  10 = 60

XVI =   10 +   6 = 16

CL  =   10 +  50 = 60

DC  =  500 + 100 = 600

MD  = 1000 + 500 = 1500

Penjumlahan 3 angka:

VIII =  5 + 1 + 1 + 1 = 8

XIII = 10 + 1 + 1 + 1 = 13

Sistem Gabungan

cara penulisan bilangan romawi adalah dengan menggunakan sistem gabungan domana didalam penulisannya menggabungkan antara penjumlahan dan pengurangan bilangan romawi seperti yang ada pada contoh di bawah ini:

CXLIX        = 100 + (50-10) + (10-1) = 149

XXIV           = 10 + 10 + (5-1) = 24

CMXCVIII = (1000 - 100) + (100-10) + 8 = 998

Cara penulisan bilangan romawi dari 1 hingga 1 milyar

Keterangan tabel:

Tanda 1 strip diatas bilangan romawi berarti bilangan tersebut dikalikan dengan 1000

Tanda 2 strip diatas bilangan romawi berarti bilangan tersebut dikalikan dengan 1000.000