Permutasi

Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang diambil sebagian atau seluruhnya. Perbedaan antara permutasi dan kombinasi adalah perhatian pada pengurutannya, dimana pada permutasi memperhatikan urutan, sedangkan pada kombinasi tidak memperhatikan urutan. XY dan YX pada permutasi di hitung 2, sedangkan pada kombinasi hanya dihitung 1.

Notasi dari permutasi adalah P. Bila n permutasi k, notasinya adalah nPk. Dimana

nPk=n!(n−k)!

Notasi ! adalah faktorial.

Contoh Soal No. 1

Lima orang pemain catur akan memperebutkan juara satu, dua dan tiga pada sebuah turnamen catur. Berapakah banyaknya susunan juara satu, dua dan tiga yang dapat dibentuk dari kelima pemain tersebut?

Jawab:

Dari soal di atas, kita akan membuat susunan urutan 3 juara dari 5 pemain catur, sehingga k=3 dan n=5. Dengan menggunakan rumus permutasi, banyaknya susunan juara yang dapat dibentuk adalah

nPk=5P3=5!(5−3)!=5!2!=60

Contoh Soal No. 2

Sebuah organisasi mahasiswa memiliki 7 orang yang kompeten untuk mengisi posisi ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Berapakah banyaknya cara untuk memilih susunan posisi tersebut?

Jawab:

Tujuh orang yang kompeten akan menenpati 4 posisi, sehingga banyaknya susunan yang akan dibentuk adalah 7 kombinasi 4, yaitu

7P4=7!(7−4)!=7!3!=35

Permutasi Siklis

Peluang: Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi yang disusun melingkar. Misalnya A, B, dan C disusun melingkar.

Jika kita pandang urutan itu searah jarum jam maka susunan ABC, CAB, dan BCA adalah sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 3 objek adalah 3!/3 = (3 × 2!)/3 = 2! = 2. Jadi, akan dihasilkan 2 susunan yang berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, dan C, yaitu ABC dan ACB.
Andaikan sekarang kita mempunyai 4 objek yang akan disusun secara siklis.

Keempat gambar di atas menunjukkan permutasi yang sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 4 objek adalah 4!/4 = (4 × 3!)/4 = 3! = 6. Jadi, akan dihasilkan 6 susunan yang berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, C, dan D. Apa yang dapat disimpulkan dari kedua contoh di atas?

Banyaknya permutasi siklis dari n objek dapat dinyatakan dengan (n – 1)!

Untuk lebih memahami mengenai permutasi siklis, khususnya dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal
Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anaknya makan bersama dan mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya cara yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika:

1. mereka berpindah-pindah tempat;
2. ayah dan ibu selalu berdekatan?

Pembahasan Contoh Soal

1. Banyaknya anggota keluarga adalah 5 orang (seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anak). Sehingga, banyaknya cara yang berlainan saat mereka duduk berpindah-pindah tempat adalah (5 – 1)! = 4! = 24 cara.
2. Perhatikan gambar berikut.
   
   Ayah dan ibu selalu berdampingan, sehingga pasangan ini dapat kita anggap satu. Sehingga terdapat 4 objek yang akan disusun secara siklis. Akan tetapi pasangan ayah dan ibu dapat disusun kembali menjadi 2P2 cara. Sehingga banyaknya susunan agar ayah dan ibu selalu berdekatan adalah (4 – 1)! × 2P2 = 3! × 2! = 12 cara.

semoga bermanfaat !!!