Persamaan Linier Tiga Variabel

Sistem persamaan linear 3 variabel, merupakan himpunan 3 buah persamaan dengan variabel sebanyak 3. Bentuk ini satu tingkat lebih rumit dibandingkan sistem persamaan linear 2 variabel

Metoda meyelesaikan persamaan

1. Metoda Eliminasi

2. Metoda subtitusi

3. Metoda determinan

4. Metoda matriks

5. Metoda operasi baris elementer

Metoda Eliminasi

Supaya lebih mudah langsung saja kita masuk ke contoh-contoh

Contoh soal 1 :

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20

x + 4y + 2z = 15

Jawab :

Ketiga persamaan bisa kita beri nama persamaan (1), (2), dan (3)

2x + 3y – z = 20 ………………………..(1)

3x + 2y + z = 20 ………………………..(2)

x + 4y + 2z = 15 ………………………..(3)

Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel. Untuk itu kita eliminasi variabel z

Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20_____   +

5x + 5y = 40

x + y = 8 ………………….(4)

Selanjutnya persamaan (2) dikali (2) dan persamaan (3) dikali (1) sehingga diperoleh

6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15____  _

5x = 25

x = 5

Nilai x ini kita subtitusi ke persamaan (4) sehingga

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

selanjutnya nilai x dan y yang ada kita subtitusikan ke persamaan (2)

3x + 2y + z = 20

3.5 + 2.3 + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, -1)}

Contoh soal 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x + 4y – 3z = 3

2x – y + 4z = 21

5x + 2y + 6z = 46

Jawab :

Agar lebih mudah, ketiga persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)

3x + 4y – 3z = 3  …………………………….(1)

2x – y + 4z = 21  …………………………….(2)

5x + 2y + 6z = 46 …………………………….(3)

Selanjutnya persamaan (1) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 4, sehingga diperoleh

3x + 4y – 3z = 3    |1| → 3x + 4y – 3z = 3

2x – y + 4z = 21    |4| → 8x – 4y+16z = 84    +

.                                  11x + 13z = 87 ……………..(4)

Berikutnya persamaan (3) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 2, sehingga diperoleh

5x + 2y + 6z = 46    |1| → 5x + 2y + 6z = 46

2x – y + 4z = 21      |2| → 4x – 2y + 8z = 42     +

.                                    9x + 14z = 88 …………..(5)

Sekarang persamaan (5) dikali 11 dan persamaan (4) dikali 9 sehingga diperoleh

9x + 14z = 88   |11|   99x +154z = 968

11x + 13z = 87  |9|    99x + 117z=783       _

.                                      37z = 185

.                                          z = 5

Nilai z=5 kita subtitusi ke persamaan (4)

11x + 13z = 87

11x + 13.5 = 87

11x + 65 = 87

11x = 22

x = 2

Nilai x=2 dan z=5 kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga

5x +2y +6z = 46

5.2 +2y +6.5 = 46

10 + 2y + 30 = 46

2y = 6

y = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 5)}

Metoda subtitusi

Contoh soal 3

Himpunnan penyelesaian sistem persamaan

2x + 5y + 4z = 28

3x – 2y + 5z = 19

6x + 3y – 2z = 4

adalah …

Jawab :

Sekarang setiap persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)

2x + 5y + 4z = 28 ……………………………………..(1)

3x – 2y + 5z = 19……………………………………….(2)

6x + 3y – 2z = 4…………………………………………(3)

Persamaan (1) bisa kita ubah sebagai berikut

2x + 5y + 4z = 28

4z = 28 – 2x – 5y

 ………………………………………..(4)

Selanjutnya persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (2) sehingga

3x – 2y + 5z = 19

Jika kedua ruas dikali dengan 4 maka diperoleh

12x – 8y + 140 – 10x – 25y = 76

2x -33y = -64 ……………………………………….(5)

Sekarang persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga

6x + 3y – 2z = 4

Jika kedua ruas dikali 4 maka

24x + 12y – 56 + 4x + 10y = 16

28x + 22y = 72

14x + 11y = 36

11y = 36 – 14x

…………………………………………(6)

Sekarang persamaan (6) kita subtitusikan ke persamaan (5) sehingga

2x -33y = -64

2x – 108 + 42x = -64

44x = 44

x=1

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(1, 2, 4)}

Persamaan Linier Dua Variabel

PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

14MAR

A. Pengertian Persamaan Linear Dua variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan linear yang memiliki dua variabel, dengan pangkat masing-masing variabel adalah satu. Persamaan Linear Dua Variabel memiliki bentuk umum :

ax + by = c

Dengan a, b, dan c adalah konstanta, x dan y adalah variabel

contoh :

a. x – y =0

b. 2m + n =4

Misalkan akan dicari penyelesaian dari 2m+n=4.

• Bila m = 0, maka 0 + n = 4 Penyelesaiannya adalah (0,4)
• Bila m = 1, maka 2.1 + n = 4, sehingga n=2, Penyelesaiannya adalah (1,4).
• Bila m = 2, maka 2.2 + n =4, sehingga n=0, Penyelesaiannya adalah (2,0).

Demikian untuk seterusnya.

B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel  adalah dua buah persamaan linear dua variabel yang mempunyai satu penyelesaian.

Bentuk umumnya seperti berikut :

a1x + b1y = c1

a2x  + b2y = c2

Dengana1, b1,  a2, b2 adalah koefisienserta x dan y adalah variabel.

Contoh :

x – y =4 … (i)

x + y =6 … (ii)

Persamaan (i) dan (ii) disebut sistem persamaan linear dua variabel karena kedua persamaan tersebut memiliki satu penyelesaian yaitu (5,1)

C. Penyelesaian Sistem persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dengan :

a.       Metode substitusi

Bila menggunakan metode subtitusi kita dapat menggantikan suatu variabel dengan variabel dari persamaan lain.
Contoh :
2x – y = 6 ……..(i)
x + y = 3 ……..(ii)

Langkah awalUbahlah salah satu persamaan dalam bentuk X = …. Atau y = ….
Dari persamaan (i), kita dapat memperoleh : 2x – 6 = y

Langkah  keduaSubtitusikan persamaan diatas ke perssamaan (ii) sehingga diperoleh :
x + (2x – 6) = 3
3x – 6 = 3
3x = 9
x = 3

Langkah Ketiga
Nilai x = 3 disubtansikan ke persamaan (i) atau ke persamaan (ii).
Misalkan x = 3 disubtansikan ke persamaan (i), diperoleh :
2.3 – y =6
6 – y = 6
y = 6-6
y = 0

b.      Metode eliminasi

Metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Contoh diatas dapat diselesaikan menggunakan metode eliminasi berikut.

Contoh :

2x – y = 6 …. (i)

x + y = 3 …. (ii)

Langkah awal
mulailah dengan menghilangkan variabel x
2x – y = 6 | x 1 |2x – y = 6
x + y = 3 |x 2 | 2x + 2y = 6

-3 y = 0
y = 0

Langkah Kedua
hilangkan variabel y
2 x – y  = 6
    x + y = 3        3x = 9
x = 3
jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 0, ditulis HP = {(3,0)}

c.       Metode Grafik

Dengan metode grafik, kita harus menggambar grafik dari kedua persamaan, kemudian titik potong kedua grafik tersebut merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel.
Contoh :
2x – y = 6
x + y = 3

Langkah awal
gambarlah grafik persamaan 2x – y = 6.
kita harus menentukan terlebih dahulu titik potong grafik terhadap sumbu X dan sumbu Y.
1) titik potong terhadap sumbu X, maka y= 0
2x – y = 6
2x – 0 = 6
2x = 6
x = 3

2) titik potong terhadap sumbu Y, maka  x = 0.
x + y = 3
0 + y = 3
y = 3
titik potong terhadap Y adalah (0,3).

d.      Metode campuran dari metode eliminasi dan substitusi

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat dilakukan dengan metode campuran dari eliminasi dan subtitusi.

Contoh :

2x – y = 3 ….. (i)

x + y = 3 ….. (ii)

Langkah awal : metode eliminasi
hilangkan variabel x
2x – y = 6 |x 1 |2x – y  = 6
x + y = 3 |x 2 | 2x + 2y = 6
-3y = 0
y = 0

Langkah kedua : metode subtitusi
masukkan nilai y = 0 ke persamaan (i) atau ke persamaan ke (ii), misalkan nilai y = 0 dimasukkan ke persamaan (i).
2x – 0 = 6
2x = 6
x  = 3
jadi, penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel diatas adlah x = 3 dan y = 0, dituliskan HP = {(3,0)}

D. Penggunaan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Penggunaan sistem persamaan linear satu variabel juga dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh :
harga 4 buah buku tulis dan 3 buah pensil adalah Rp. 25. 000,00. harga 2 buah buku tulis dan 7 buah pensil adalah Rp. 29.000,00. berapakah harga 2 lusin buku tulis dan 4 lusin pensil ?

jawab:
Misalkan, harga sebuah buku tulis dilambangkan x dan harga sebuah pensil dilambangkan y.
Dengan demikan diperoleh :
4x + 3y = Rp25.000,00 …. (i)
2x + 7y = Rp 29.000,00 …. (ii)

Misalkan sistem persamaan linear dua variabel diatas akan diselesaikan dengan metode eliminasi.

Langkah awal
Hilangkan variabel x
4x + 3y = 25.000|x 1|4x + 3y  = 25.000
2x + 7 y = 29.000|x 2|4x+14y = 58.000                                    -11 y = – 33.000

y  = 3. 000

Langkah kedua
kita dapat  menggunakan metode substitusi.
Masukkan nilai y = 3. 000 ke salah satu persamaan. Misalkan (i), diperoleh :
4x + 3.3000 = 25.000
4x = 25.000 – 9.000
x = 4.000

Dengan demikian, diperoleh bahwa harga sebuah buku tulis adalah Rp4.000,00 dan harga sebuah pensil adalah Rp3.000,00. harga 2 lusin buku tulis dan 4 lusin pensil adalah :
= 2. 12.Rp4.000,00 + 4.12.Rp3.000,00
= 24. Rp4.000,00 + 48.Rp3.000,00
= Rp96.000,00 + Rp144.000,00
=Rp240.000,00
Jadi harga 2 lusin buku tulis dan 4 lusin pensil adalah Rp240.000,00